欠了4万元的信用卡未还款，会不会被银行起诉，由以下几个因素决定：

1、逾期时间，如果逾期时间太长，超过3个月就可能会被起诉；

2、逾期次数，逾期次数过多，连续3次或者累计6次逾期，也可能会被起诉；

3、如果是以非法占有为目的，有钱也不还款，那么被起诉的可能性很大，起诉之后也不还款，还可能要承担刑事责任的。